SIGLO XX (2), (7), (11), (12), (13)
En este siglo se observa una multiplicación de teoremas y descubrimientos matemáticos. A manera general, David Hilbert en el congreso de matemáticas de 1900 enuncio 23 problemas que deberían ser la guía de actividad para la matematica de los años venideros. Muchos de estos problemas fueron demostrados posteriormente, sin embargo aún se encuentran dos por demostrar, el Octavo y el Décimo. Con respecto a Hilbert, se refiere su más importante obra consistente en la axiomatización completa y rigurosa de la Geometría.
Por otra parte, para comienzos del siglo XX, el físico Albert Einstein fundamentado en los estudios de Riemann enuncia la Teoría General de la Relatividad.
En 1902, Bertrand Russell, expone la conocida Paradoja de Russell que colocaba en discusión la formulación en Teoría de conjuntos. Este hallazgo llevo a Ernest Zermelo y Adolf Fraenkel a reformular la teoría sobre bases axiomáticas: el llamado Axioma de Zermelo – Fraenkel. Sin embargo, en 1931 Kurt Godel propone en el Teorema de incompletitud que para cada sistema axiomático coherente existen proposiciones indecidibles, es decir que no pueden ser demostradas ni refutadas.
En Análisis, Henry Lebesgue reformulo en 1902 el concepto de Integral introduciendo la medida de Lebesgue. Esto conllevo una ampliación a la definición de integral propuesta
por Riemann. Fueron posteriormente introducidas funciones impropias como la función de Heaviside y la función Delta de Dirac. Abraham Robinson definió los números hiperreales, como una extensión de los reales y sucesivamente fueron introducidos los números surreales.
Ernst Steinitz, aporto importantes contribuciones en el Algebra y el estudio de los campos. Esto adicionalmente conllevo a una clasificación de los grupos finitos. En este periodo tambien fue encontrado el “Monstruo”, un grupo simple constiruido por aproximadamente 1053 elementos. Finalmente, se descubre que las estructuras algebraicas tienen gran importancia en la fisica de las particulas.
Uno de los campos de estudio principales del siglo fue la Topología. En 1910 Luitzen Brower demostro el importante teorema del punto fijo y se iniciaron a estudiar las superficies minimas. Tambien surge en la Topologia diferencial el concepto de variedad topologica. Stephan Smale resuelve la conjetura de Poincare para todas las dimensiones superiores a 5. En el mismo periodo William Thurston introduce nuevas prospectivas geometricas en el estudio de la variedad tridimensional, culminadas en la conjetura de Geometrización. Finalmente, en el Siglo XX, los matemáticos se interesan en la Teoria de los Nudos .
Sobre esta área matematica, Srinivasa Ramanujan demuestra importantes Teoremas, que permiten calcular π y además introduce la función mock theta. Alexander Gelfond demuestra el Teorema de Gelfond que refiere a los números trascendentes. Atle Selberg y Paul Erdös, ofrecieron en 1949 una demostración elemental del teorema de los números primos. Por último, en 1994 después de casi 3 siglos de existencia, Andrew Wiles demostró el último Teorema de Fermat.
En Geometría, después de la clasificación de los 230 grupos de simetría espacial se desarrolla la Geometría no conmutativa. Se demuestra el Teorema de los cuatro colores según el cual cada mapa puede ser coloreado sin que dos regiones tengan el mismo color, usando solamente 4 colores. Benoit Mandelbrot a inicios de los años 80’s, define y estructura la Geometría Fractal.
Alan Turing, considerado uno delos padres de la Informática, introduce ideas fundamentales para el sucesivo nacimiento de estas ciencias. Jhon von Neumann, una figura dominante en la matematica del siglo 20, introduce el concepto de arquitectura de Neumann y estudio la posibilidad de una maquina auto replicante. Sucesivamente, George Dantzig introduce los métodos de Programación lineal y Claude Shannon desarrollo la Teoría de la Información.
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